Doktoraty Wydziału IET

mgr inż. Grzegorz Gurgul

Promotor: prof. dr hab. Maciej Paszyński
Promotor pomocniczy: dr hab. inż. Bartosz Baliś, prof. uczelni
Dyscyplina: Informatyka

Abstract:
Isogeometric analysis, which aims to bridge the expensive gap between Computer-Aided Design (CAD) and Computer-Aided Engineering (CAE) has quickly become an important research topic. A number of fast direct solvers have been proposed over the recent years in this area. Among them, special attention should be paid to the alternating directions solver algorithms, which decompose the stiffness matrix generated in the process of the discretisation of two- and three-dimensional computational problems into the Kronecker product of two or three multi-diagonal matrices. In the case of two-dimensional problems, the multi-diagonal structure allows to obtain linear computational complexity in the sequential version and logarithmic in the parallel version. State-of-the-art alternating directions solvers, however, utilise only explicit time discretisation techniques. These techniques are easier to use and less computationally expensive than the implicit ones but may lead to stability issues if the discretisation in space is too dense in relation to the discretisation in time. In practice, the existence of this relation mandates computing thousands of redundant time steps in case of larger meshes, which significantly increases the computation time for already computationally-intensive problems.

In this dissertation, we present the novel algorithms for the decomposition of the non-stationary engineering problems using implicit time integration schemes which also generate systems of linear equations with Kronecker product structure and can be solved using alternating directions solvers with a linear computational cost. This allows using longer time steps while retaining unconditional stability of the method, which reduces the computation times by orders of magnitude.

The classic way of solving the problems using Finite Element Method is based on decomposing the domain into isolated computational sub-problems, which are then solved concurrently using HPC clusters interfaced by the Message Passing Interface (MPI). This dissertation leverages modern cloud computing architectures running on commodity hardware instead. It is possible as the proposed way of decomposition guarantees binary and balanced structure of the elimination tree, which allows communication-effective partitioning of the solver algorithm into computational tasks. In particular, we design and implement a distributed alternating directions solver for Isogeometric Analysis of non-stationary problems with explicit and implicit time integration schemes. It leverages the vertex-centric model of graph processing to exploit the data locality available in the invented method and achieve satisfactory scaling in the cloud computing environment. The numerical experiments conducted for typical engineering problems in one of the popular public clouds display speedup of nearly two orders of magnitude for larger problems with a number of additional optimisation techniques still to be applied.

Streszczenie:

Analiza izogeometryczna, której celem jest ujednolicenie projektowania wspieranego komputerowo (CAD) i inżynierii wspieranej komputerowo (CAE), szybko stała się ważnym tematem badań. W ciągu kilku ostatnich lat powstało szereg szybkich solwerów dokładnych. Na szczególną uwagę zasługują algorytmy solwera zmiennokierunkowego, dekomponujące macierz współczynników układu równań pochodzącego z dyskretyzacji dwu lub trójwymiarowych problemów obliczeniowych na produkt Kroneckera dwóch lub trzech macierzy wieloprzekątniowych. Dzięki strukturze wieloprzekątniowej tych macierzy solwery zmiennokierunkowe cechują się (dla problemów dwuwymiarowych) liniową złożonością obliczeniową w wersji sekwencyjnej oraz logarytmiczną w wersji równoległej. Istniejące solwery zmiennokierunkowe wykorzystują jednak jedynie dyskretyzację czasu typu explicite. Tego typu techniki są prostsze w użyciu i mniej złożone obliczeniowo, jednak mogą prowadzić do problemów ze stabilnością jeśli dyskretyzacja w przestrzeni jest zbyt gęsta w stosunku do dyskretyzacji w czasie. W praktyce, istnienie tej relacji wymusza uwzględnienie tysięcy zbędnych kroków czasowych w przypadku większych problemów, co znacząco wydłuża czas obliczeń dla i tak już złożonych obliczeniowo problemów.

W tej pracy prezentujemy autorskie algorytmy dekompozycji niestacjonarnych, inżynierskich problemów obliczeniowych wykorzystujące dyskretyzację typu implicite, które również generują układy równań liniowych ze strukturą produktu Kroneckera i mogą być rozwiązane za pomocą solwerów zmiennokierunkowych o liniowym koszcie obliczeniowym. Dzięki temu możliwe jest użycie dłuższych kroków czasowych bez utraty bezwarunkowej stabilności metody, co pozwala na skrócenie czasu obliczeń o rzędy wielkości.

Klasyczny sposób rozwiązywania problemów związanych z metodą elementów skończonych bazuje przede wszystkim na dekompozycji domeny na odizolowane podproblemy obliczeniowe, które są następnie rozwiązywane współbieżnie na specjalnych klastrach obliczeniowych dla których interfejsem jest Message Passing Interface (MPI). Niniejsza praca wykorzystuje zamiast tego nowoczesne, chmurowe architektury obliczeniowe. Jest to możliwe, ponieważ zaproponowana metoda dekompozycji gwarantuje binarną i zbalansowaną strukturę drzewa eliminacji, co pozwala na efektywny komunikacyjnie podział algorytmu solwera na zadania obliczeniowe. W szczególności, zaprojektowano i zaimplementowano rozproszony solwer zmiennokierunkowy, służący do analizy izogeometrycznej problemów niestacjonarnych ze schematem dyskretyzacji czasu explicite i implicite. Bazuje on na modelu obliczeń grafowych zorientowanych na wierzchołki, który może wykorzystać lokalność danych dostępną w zaproponowanej metodzie, dzięki czemu pozwala na osiągnięcie zadawalającej skalowalności w środowisku chmury obliczeniowej. Przeprowadzone na jednej z publicznych chmur obliczeniowych eksperymenty numeryczne dla typowych problemów inżynierskich wykazały przyspieszenie wynoszące blisko dwa rzędy wielkości dla większych problemów obliczeniowych, z możliwością zastosowania dalszych technik optymalizacji.

Recenzja - prof. David Pardo
Recenzja - dr hab. inż. Paweł Czarnul

1. Gurgul, G. and Paszyński, M.: Object-oriented implementation of the alternating directions implicit solver for isogeometric analysis.
   Advances in Engineering Software, 128, pp.187-220, 2019.
2. Gurgul, G., Woźniak, M., Łoś, M., Szeliga, D. and Paszyński, M.: Open source JAVA implementation of the parallel multi-thread alternating direction isogeometric L2 projections solver for material science simulations. Computer Methods in Material Science, 17, pp.1-11, 2017.
3. Gurgul, G., Paszyński, M., Szeliga, D. and Puzyrev, V.: Framework for fast simulations of material science phenomena with Cahn-Hilliard equations.
   Computer Methods in Materials Science, 19(1), pp.12-20, 2019.
4. Gurgul, G., Loś, M., Paszyński, M. and Calo, V.: Linear computational cost implicit solver for parabolic problems.
   Computer Science, 21(3), 2020
5. Paszyński, M., Gurgul, G., Łoś, M. and Szeliga, D.: Computational cost of two alternative formulations of Cahn-Hilliard equations.
   In AIP Conference Proceedings (Vol. 1960, No. 1, p. 090009). AIP Publishing LLC, 2018.
6. Puzyrev, V., Łoś, M., Gurgul, G., Calo, V., Dzwinel, W. and Paszyński, M.: Parallel splitting solvers for the isogeometric analysis of the Cahn-Hilliard equation.
   Computer methods in biomechanics and biomedical engineering, 22(16), pp.1269-1281, 2019.

Doktorant jest współautorem kilkunastu publikacji naukowych, w tym 2 w czasopismach z Listy Filadelfijskiej. Na szczególną uwagę zasługuje jego obszerna publikacja w czasopiśmie zaliczanym do najlepszych na świecie (Q1, H-index 72), punktowana przez MNISW za 140 punktów, w której jest głównym z dwóch autorów. Doktorant był również prelegentem na wielu międzynarodowych konferencjach naukowych, między innymi w Stanach Zjednoczonych i Kanadzie. Uczestniczył także w roli wykonawcy w projektach badawczych i rozwojowych finansowanych z programów NCN.